Homonymie

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  D A N S  

  L ' I M M E N S I T É  

  D E  

L ' U N I V E R S

univers [ynivεʀ]

univers nom commun - masculin - mot en sept lettres

Le mot « Univers » peut avoir plusieurs significations :

EN SCIENCES

L'Univers, souvent employé avec une majuscule, est une notion scientifique qui désigne l'ensemble de la matière distribuée dans l'espace et dans le temps. Son étude fait l'objet de la cosmologie.

PHILOSOPHIE : on nomme Univers l'ensemble qui englobe tous les êtres et toutes les choses qui existent, qu'ils soient ou non identifiés et répertoriés selon les connaissances humaines, et les lois qui le régissent.

• la place de l'homme dans l'univers

ASTRONOMIE : l’Univers est une structure hiérarchisée en constante mutation et en mouvement permanent, composée de galaxies, d'étoiles et de poussière interstellaire.

Synonyme : cosmos

• les confins de l'Univers ⇒ découverte de plusieurs amas de galaxies ⇐ très lointaines formées il y a de 800 millions d'années à 1 milliard d'années après le Big-Bang

Si l'on suppose qu'il y a plusieurs parties totalement séparées entre elles ou qui existent parallèlement, il s’agit alors d’univers parallèles, chaque partie de ces univers étant un univers différencié par son contenu et/ou ses lois.

LOGIQUE MATHÉMATIQUE : un univers (en) est un modèle de la théorie des ensembles.

La logique mathématique, ou logique formelle, définit et étudie les représentations formelles du langage mathématique.

Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules qui modélisent les énoncés mathématiques, les dérivations qui modélisent les raisonnements mathématiques et les sémantiques qui établissent les liens entre ces modèles et les objets qu'ils sont sensés représenter.
Au cours du XXème siècle, la logique mathématique s'est ramifiée en de nombreuses branches :

1. la théorie des ensembles
2. la théorie de la démonstration
3. la théorie des modèles
4. la théorie de la calculabilité
5. la théorie des types

La théorie des ensembles :

Dès l'école primaire, l'enfant apprend à classer des objets suivant leur forme, leur couleur, leur taille, à établir entre eux des correspondances.

Un ENSEMBLE désigne une collection ou un assemblage d’objets ayant une propriété commune, « une multitude qui peut être comprise comme un tout » comme l'énonçait son principal initiateur, le mathématicien allemand d'origine danoise Georg Cantor (né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg – décédé le 6 janvier 1918 à Halle). Ces objets sont appelés ÉLÉMENTS de l’ENSEMBLE.

La relation d’appartenance est directement en cause dans la notion d'ensemble : un élément appartient à un ensemble.

Exemples :

• l'ensemble des végétaux
• l'ensemble des objets célestes
• l'ensemble des animaux
• l'ensemble des carnivores
• l'ensemble des mammifères
• l'ensemble des nombres entiers

Ce sont les propriétés de cette relation - ensembles, éléments, appartenance - que Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (né le 27 juillet 1871 à Berlin - décédé le 21 mai 1953 à Fribourg-en-Brisgau), un mathématicien allemand, puis d'autres, ont axiomatisé en théorie des ensembles.

Exemples usuels :

• L’ensemble des entiers naturels noté N
• L’ensemble des entiers relatifs noté Z
• L’ensemble des nombres décimaux noté D
• L’ensemble des nombres rationnels noté Q
• L’ensemble des nombres réels noté R
• L’ensemble des nombres réels positifs ou nuls noté R₊
• L’ensemble des nombres réels négatifs ou nuls noté R_-
• L’ensemble des nombres complexes noté C

Note : N*, Z*,D*, Q*, R*, R₊*, R_-*, C*, représentent les mêmes ensembles privés de zéro.

La notation « N* » désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

La présence d'un astérisque en exposant « Z* » désigne en général l'ensemble des entiers relatifs non nuls, même si cette notation est utilisée parfois pour l'ensemble des éléments inversibles, c'est-à-dire la paire d'entiers {−1; 1}.
La notation « Z₋ » désigne l'ensemble des entiers négatifs.
Il est plus rare de trouver la notation « Z₊ », celle-ci étant remplacée par la notation « N » des entiers naturels par identification.

En général, on distingue typographiquement un ensemble de ses éléments en utilisant une lettre latine majuscule par exemple « E » ou « A » pour désigner l'ensemble, et des minuscules telles que « x » ou « n » pour représenter ses éléments.

On note l’ensemble en indiquant entre accolades la liste de ses éléments agrémentée de points de suspension si elle est trop longue. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels peut se noter par : N = { 0, 1, 2, 3, ...}.

On peut définir l'ensemble en utilisant la notation d'un ensemble en compréhension. Un ensemble peut être défini en compréhension, c’est-à-dire qu'on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné. Ainsi l'ensemble des entiers naturels pairs est clairement défini par compréhension, par la propriété « être pair » parmi les entiers naturels en indiquant entre accolades la liste de leurs propriétés séparée par des barres verticales.

Par exemples :

N désignant l'ensemble des entiers naturels, pour l'ensemble des entiers naturels pairs, on écrira :

• l'ensemble des entiers relatifs compris entre -7 et 23

L'ensemble des carrés parfaits non nuls :

Les éléments d'un ensemble peuvent être de n’importe quelle nature : nombres, points géométriques, droites, fonctions, autres ensembles... Par exemple : lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine ; une bibliothèque est un ensemble de livres, etc.

Un ensemble vide se note Ø.

Lorsqu’il n’existe qu’un élément, l’ensemble est un singleton.

Le signe d’appartenance d’un ou plusieurs éléments à un ensemble est « ∈ ». L'appartenance d'un élément, noté par exemple x, à un ensemble, noté par exemple A, s’écrit : x ∈ A.
Cet énoncé peut se lire :

• « x appartient à l’ensemble A »
• « x est élément de l’ensemble A »
• « x est dans A »
• « A a pour élément x »
• « A possède x »

Le symbole « ∈ », dérive de la lettre grecque ε (epsilon) introduite par Giuseppe Peano dès 1889.

Pour Giuseppe Peano « x ε A » se lit « x est un A ».
Par exemple : « x ε N » se lit x appartient à l'ensemble des entiers naturels ou encore « x est un entier naturel »

Le ε renvoie à l'initiale du mot « est » en latin, en français ou en italien (« è »).

Comme souvent pour les relations, on barre ce symbole ε pour indiquer sa négation, la non-appartenance d’un objet à un ensemble :

• signifie « z n’appartient pas à A »

Si plusieurs ensembles sont constitués des mêmes éléments, ils sont tout simplement égaux.
On considère que deux objets sont égaux quand ils ont les mêmes propriétés, que l'on ne peut donc les distinguer l'un de l'autre. On dira donc que deux ensembles A et B sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments. On le notera :

• A = B si et seulement si   ∀x( x ∈ A ⇔ x ∈ B )

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La magie des mathématiques

Faites donc cette multiplication :

13837 x (votre âge) x 73 = produit P

Le résultat est surprenant !

THÉORIE DES PROBABILITÉS : un univers, souvent noté Ω, U ou S, désigne l'ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent être obtenus au cours d'une expérience aléatoire.

Probabilité

Le terme « PROBABILITÉ » vient du latin « probare » qui signifie « prouver, ou tester ».

La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement.

Le mot « probable » [pʀɔbabl] (adjectif) signifie « qui peut se produire » dans le cas de futures éventualités, ou  encore « certainement vrai », « vraisemblable » dans le cas d'inférences de l'évidence.

En mathématiques, une probabilité est une chance d'arriver à un résultat donné.

La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque ou la chance que l'événement se produise est grand.

La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle trouve ses origines dans l'analyse de jeux de hasard.

Le calcul des probabilités :

Par exemple : si nous lançons une pièce, nous avons deux résultats possibles : pile ou face. L’expérience aléatoire considérée est alors : « 1 lancer de pièce ». Nous pouvons définir l'univers associé à cette expérience qui regroupe tous les résultats possibles :

Ω = {pile, face}

Le pile ou face est un jeu de hasard qui se joue avec une pièce de monnaie. Le principe est de lancer une pièce équilibrée en l'air et de parier sur le côté sorti. La pièce tournoyante est rattrapée et se pose à plat dans la main.

Si l'on considère que la probabilité qu'un lancer de pièce donne pile est égale à 1chance sur 2, cela signifie que, si on lance un très grand nombre de fois cette pièce, la fréquence des pile va tendre vers 1 sur 2, sans préjuger de la régularité de leur répartition.

Origine du jeu : dans l'Antiquité romaine, les gravures que l'on trouvait sur les pièces de monnaie représentaient le visage de Janus sur une face, et le navire qui l'avait amené en Italie sur l'autre.

Janus est un dieu romain, le Dieu des Portes (de janua, « la porte d’une maison » en latin). Chaque porte donne deux possibilités. Selon la mythologie, Janus signifie donc « passage ». Janus est un dieu qui préside aux transitions d'un état à un autre.
Janus est représenté avec une tête mais deux visages opposés dont l'un regarde vers le passé et l'autre se tourne vers l'avenir.
Janus est aussi le dieu des commencements, il est le dieu du matin, il préside au lever du jour, on l'honore le premier jour du mois, aux calendes, et il a donné son nom au mois qui devait devenir le premier mois de l'année, januarius (janvier), il veille sur la naissance (passage du néant à la vie), sur le seuil de la maison, protégeant le passage de l'intérieur à l'extérieur et inversement, il préside au passage de la paix à la guerre et inversement, c'est-à-dire au départ de l'armée vers l'espace extérieur à la ville et à son retour vers l'espace intérieur de la même ville, il assure enfin le passage du monde des hommes à celui des dieux et, à ce titre, est toujours invoqué au début de toute prière rituelle.
Avant de devenir dieu de guerre et paix, Janus était à l’origine le protecteur des bateliers et constructions navales.

Cependant l'Église romaine fit vite remplacer la représentation iconographique de Janus par une croix, le revers devenant la pila. En effet, au XIIIe siècle, ce terme symbolisait en latin médiéval la marque du coin qui servait à frapper les monnaies. On disait alors « croix ou pile ».
Plus tard, après le règne de François Ier, on décida de faire réapparaître un visage sur les pièces d’où le terme face qui signifie « visage ».

La face est la partie d'une monnaie ou d'une médaille qui porte l'effigie.

• Synonyme : avers

Aujourd'hui encore, jouer à « pile ou face » signifie qu'on laisse une décision se prendre au hasard, en fonction de la face de la pièce qui apparaîtra après le lancer : le côté pile et le côté face. Ce jeu permet d'aider à la décision d'un choix binaire. On laisse alors le hasard choisir. En sport, l'arbitre lance une pièce pour savoir quelle équipe va choisir son côté de terrain.

Pour une expérience de lancer d'un dé ou de plusieurs dés :

Normalement, le jet d'un dé donne des valeurs allant de 1 au nombre de faces.

Pour un simple lancer d'un seul dé à six faces, qu'on considère équilibré, la probabilité d'obtenir n'importe quelle valeur allant de 1 à 6 est exactement de 1/6. Nous choisirions l'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Tandis qu'un dé à vingt faces, considéré équilibré, donnera des valeurs comprises entre 1 et 20. Nous choisirions l'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

EN COURS DE CONSTRUCTION

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